Fiche de cours de mathématiques

Terminale S (spécialité)

L'arithmétique

La division euclidienne se traduit par l'existence d'un unique entier relatifet d'un unique entier naturel formule mathématique 4tel que:

formule mathématique 1 avec formule mathématique 2

formule mathématique 5est appelé le quotient et formule mathématique 7le reste.

Si dans la division euclidienne il existe un entier relatifformule mathématique 6tel queformule mathématique 35alors on dis queformule mathématique 37est divisible parformule mathématique 36ou bien queformule mathématique 38est un multible deformule mathématique 39.

Quelques propriétés de la divisibilité à connaître:

formule mathématique 16

S'il existe un entier relatifformule mathématique 18tel queformule mathématique 15etformule mathématique 19aient le même reste dans la division euclidienne parformule mathématique 17, on dira queformule mathématique 8est congru àmoduloformule mathématique 10, c'est à dire que formule mathématique 11diviseformule mathématique 12. Cette propriété sera notée:

formule mathématique 13

Quelques propiétés de la congruence à connaître (avecformule mathématique 33etformule mathématique 34):

formule mathématique 18

Soitformule mathématique 59etformule mathématique 60deux entiers relatifs, leur plus grand diviseur commun est noté:

formule mathématique 61

Pour déterminer formule mathématique 62, il suffit de décomposerformule mathématique 63etformule mathématique 64en produit de facteurs premiers et de repérer leurs facteurs communs.formule mathématique 66est alors égal au produit de ces facteurs.

Qelques propriétés à connaître avec:

formule mathématique 73

Soitformule mathématique 67etformule mathématique 68deux entiers relatifs, leur plus petit multiple commun est noté:

formule mathématique 66

On peut calculerformule mathématique 70à l'aide de la relation suivante:

formule mathématique 69

Quelques propriétés à connaître avec :

formule mathématique 45

Un nombre est dit "premier" s'il n'admet que deux diviseur: 1 et lui même. Il faut connaître les nombres premiers suivants: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.

Tout entier naturelformule mathématique 74admet au moins un diviseur formule mathématique 75tel que formule mathématique 76

Si deux nombres n'ont que 1 comme diviseurs communs alors on dit qu'ils sont premiers entre eux.

Petit théorème de Fermat: siformule mathématique 77est un nombre premier etformule mathématique 78un entier naturel et siformule mathématique 79n'est pas un diviseur deformule mathématique 80, alorsformule mathématique 81est divisible parformule mathématique 82.

Corollaire du petit théorème de Fermat: siformule mathématique 83est un nombre premier etformule mathématique 84un entier naturel, alorsformule mathématique 85est divisible parformule mathématique 86.

On appelle équations diophantiennes les équations de la formeformule mathématique 20avecformule mathématique 21trois entiers relatifs non nul connu etformule mathématique 28etformule mathématique 29deux entiers relatifs à déterminer.

Théorème de Bézout: Soitformule mathématique 23etformule mathématique 24deux entiers naturels non nuls alors l'équation diophantienneformule mathématique 25admet des solutions dansformule mathématique 26.

Il en découle queformule mathématique 27si et seulement si il existe deux entiers relatifsformule mathématique 28etformule mathématique 29tels queformule mathématique 30.

Corollaire du théorème de Bézout:formule mathématique 31admet des solutions dansformule mathématique 32si et seulement siformule mathématique 40est un multiple deformule mathématique 41.

L'algorithme d'Euclide permet de trouver un couple de solutions particulier aux équations diophantiennes. Il se décompose selon le modèle suivant:

formule mathématique 42

En remontant l'algorithme d'Euclide, on trouve alors le couple de solutions particulier recherché.

Théorème de Gauss: Soitformule mathématique 50,formule mathématique 51etformule mathématique 52deux entiers non nuls tels queformule mathématique 53diviseformule mathématique 54et tel queformule mathématique 55est premier avecformule mathématique 56, alorsformule mathématique 57diviseformule mathématique 58.

Tout entier formule mathématique 46 écrit en base formule mathématique 47du type formule mathématique 49peut s'écrire en base 10 de la façon suivante:

formule mathématique 48

Si un nombre est écrit dans une certaine base, il faut, pour l'écrire dans une autre base, l'écrire préalablement en base 10.

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