Fiche de cours de mathématiques

Terminale S

Les suites numériques

On appelle suite numérique tout application de formule mathématique dans formule mathématique, c'est à dire l'application mathématique qui à tout entier naturel donne un nombre réel quelconque. Cet application est notée formule mathématique avec formule mathématique. On peut retenir ainsi qu'une suite numérique est un peu comme une fonction classique sauf que la variable n'est pas ici un réel mais un entier naturel.

Le nombre formule mathématique est appelé «  terme de la suite formule mathématique de rang formule mathématique  ». Ainsi formule mathématique est le terme de rang 0, formule mathématique est le terme de rang 1, etc...

Lorsque le terme général de la suite formule mathématique est exprimé directement en fonction de formule mathématique, on dit que la suite est exprimée de façon explicite. On pourra alors calculer directement la valeur de n'importe quel terme de la suite connaissant formule mathématique.

Lorsque le terme général de la suite formule mathématique est exprimé en fonction d'un autre terme de la suite (en général formule mathématique), on dit que la suite est exprimée de façon récurrente. On ne pourra pas calculer directement la valeur de n'importe quel terme de la suite connaissant formule mathématique, il faudra calculer tous les termes précédents. En général, on cherche dans les exercices à trouver la forme explicite de la suiteformule mathématique.

Lorsque la suite est explicite, on étudie généralement son sens de variation en posant formule mathématique et en étudiant le sens de variation de formule mathématique sur formule mathématique.

Lorsque la suite est récurrente, on étudie généralement sons sens de variation en étudiant le signe de formule mathématique sur son ensemble de définition:

formule mathématique

Lorsque l'on veut étudier la convergence d'une suite, on calcule en général la limite de formule mathématique quand formule mathématique tend vers formule mathématique. Si on peut conclure sur une limite finie, noté formule mathématique,alors la suite converge vers formule mathématique, sinon la suite diverge.

On peut également utilisé le théorème de comparaison pour conclure sur la convergence ou la divergence d'une suite. En effet, s'il existe deux suites formule mathématique et formule mathématique tel que, à partir d'un certain rang formule mathématique,formule mathématique alors:

formule mathématique

Théorème des gendarmes: De la même façon, s'il existe trois suite formule mathématique,formule mathématique et formule mathématique tel que formule mathématique et que formule mathématique avec formule mathématique alors, d'après le théorème des gendarmes:

formule mathématique

Deux suites formule mathématique et formule mathématique sont dites adjacentes si, sur leur domaine de définition:

formule mathématique

Deux suites adjacentes sont toujours convergentes puisqu'elles admettent la même limite finie.

Un suite formule mathématique est minorée par formule mathématique si et seulement si, pour tout formule mathématique,formule mathématique. Toutes les suite qui sont minorées et décroissantes sont convergentes.

Un suiteformule mathématique est majorée par formule mathématique si et seulement si, pour tout formule mathématique,formule mathématique. Toutes les suite qui sont majorée et croissantes sont convergentes.

Si formule mathématique admet à la fois un minorant et un majorant, on dit qu'elle est bornée.

Une suite est dites arithmétiques si, pour passer d'un terme de la suite au terme suivant, on ajoute toujours le même nombre réel formule mathématique appelé raison de la suite. L'expression récurrente d'une suite arithmétique est donc de la forme formule mathématique.

Pour prouver qu'une suite est arithmétique, il suffit donc de calculer la différence formule mathématique et de trouver un nombre réel qui est la raison de la suite.

Soit une suite arithmétique de premier termeformule mathématique et de raison formule mathématique. La suite arithmétique peut alors être exprimée de façon explicite:

formule mathématique

Deux termes de rang formule mathématique et formule mathématique d'une suite arithmétique sont relié par la relation suivante:

formule mathématique

Soit formule mathématique la somme des formule mathématique termes consécutifs d'une suite arithmétique formule mathématique. formule mathématique peut être directement calculée grâce à la relation:

formule mathématique

Une suite est dites géométrique si, pour passer d'un terme de la suite au terme suivant, on multiplie toujours par le même nombre réel formule mathématique appelé raison de la suite. L'expression récurrente d'une suite géométrique est donc de la forme formule mathématique.

Pour prouver qu'une suite est géométrique, il suffit donc de calculer le quotient formule mathématique et de trouver un nombre réel qui est la raison de la suite.

Soit une suite géométrique de premier terme formule mathématique et de raison formule mathématique. La suite géométrique peut alors être exprimée de façon explicite:

formule mathématique

Deux termes de rang formule mathématique et formule mathématique d'une suite géométrique sont relié par la relation suivante:

formule mathématique

Soit formule mathématique la somme des formule mathématique termes consécutifs d'une suite géométrique formule mathématique . formule mathématique peut être directement calculée grâce à la relation:

formule mathématique

Une propriété notéeformule mathématique peut être démontrer par récurrence, il faut alors procéder à trois étapes pour démonter que la propriété est vrai à partir d'un rang formule mathématique:

-L'initialisation: On vérifie que formule mathématique est vrai, c'est à dire que la propriété est vrai au rang formule mathématique.
-L'hérédité: On suppose que formule mathématique est vrai et on démontre alors, en partant de formule mathématique et par le calcul que formule mathématique est vrai pour tout formule mathématique.
-La conclusion: « On a démontré que formule mathématique est vrai et que, si formule mathématique est vraie, alors pour tout formule mathématiqueformule mathématiqueest vraie. On en déduit d'après le principe de récurrence queformule mathématiqueest vrai. »

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